事業開始の届出に必要なものは何でしょうか。また、どこに届け出るべきでしょうか。

独立・開業して個人事業主となった場合、フリーランスで活動する事になった場合は開業の届けを出すのが一般的です。
まず事務所となる場所を設定します。
自宅兼事務所とする人が多いようですが、事務所を別に設定しても構いません。
別に事務所を借りたりする場合は、事務所の家賃などが事業の財産としてみなされますが、自宅と兼用でしたら線引きが必要になってきますので、プライベートと仕事とで区分できるようにしておきましょう。

開業、廃業の時に必要な届出書は事務所がある住所の税務署になります。
自宅と兼用であれば自宅住所の税務署ですし、別に事務所を構えた場合は事務所の所在地にある税務署にする事も出来ます。
開業後1ヶ月以内に届出が必要です。
ですが所得が290万円以上でないと事業税が発生しないので、開業してもこの所得金額が見込めない場合は開業届けを出さずに事業を始めてしまう人が多いようです。所得とは、収入から必要経費を差し引いたもののことです。
独立が高収入になるとは限りませんので見極めをしっかりしておきましょう。
独立をする際に用意した機器や備品などは設備費として資産計上しますが、物によっては償却期間が違いますので設備購入の際にはきちんと記録と帳簿に記載する事を忘れないようにしましょう。

開業届を出さずに事業を開始した場合、大きな問題は特にないようです。
納税については先に開業届出書を提出していれば税務署からの通知がありますし、収入が見込めず先に事業を開始した場合でも、確定申告で納税する際に開業届が出来ます。
尚、節税の為に開業すぐは青色申告をする人が多いようです。